此时，在俄国，安娜女皇去世，俄国政府变得更为开明，但是欧拉已经 厌倦了在这里的生活，他非常高兴地接受了腓特烈大帝请他作柏林科学院院 士的邀请。
腓特烈大帝的王宫金碧辉煌。风尘仆仆的欧拉一身便装前来谒见腓特 烈。腓特烈见新来的数学家身着皱皱巴巴的西服，围着一条发黄的旧丝围巾， 连礼帽也没有戴，心里非常不高兴。这无异是对“欧洲最伟大的国王”不可 容忍的怠慢。他爱搭不理地敷衍了欧拉几句后就拂袖而去。和国王貌合神离 的王后倒是十分喜欢欧拉。他看到欧拉的打扮和风度与众不同，很想同他好 好聊聊。可是，欧拉在俄国几乎与世隔绝地沉默了十多年，他担心王后连珠 炮似的问话是不是别有用心。
“您为什么不愿意和我讲话呢？”王后不解地问欧拉。
“王后陛下”，欧拉回答说，“我是从那样的一个国家来的，在那里， 要是谁爱多讲话，谁就会被吊死。”
欧拉并没有把宫廷不愉快的谈话放在心上，他的心早已经被一大堆数学 问题所占据，已经容不下其它琐事了。这些日子以来他一直在认真地考虑， 如何对17世纪中最伟大的发明——微积分作系列的介绍。因为自从牛顿和莱 布尼兹建立起微积分以来，它在物理学、天文学、航海学以及工程学等广大 领域里已经显示出无比的威力，并且由此产生了一系列新的分支，如微分方 程、无穷级数、变分法、函数论等，迅速形成了一个数学中最庞大、最重要 的分支——数学分析。数学家们热衷于分析这些新分支的发展。但是要想做 到这一步，首先必须扩展微积分本身。牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本 方法，可是从它的逻辑基础到实际应用还有大量的问题有待解决，而为了让 更多的人掌握分析的武器，还需要扫除从初等代数过渡到微积分的重重障 碍。欧拉决心肩负起这项艰巨而有意义的任务。在当时健在的数学家中，的 确没有谁比他更适合干这项工作的了。不久，闻名遐迩的杰作 《无穷小分析 引论》和《微分学原理》先后问世。连同他后来在彼得堡出版的《积分学原 理》，它们都是分析学中里程碑式的经典著作，为鼓舞和造就一批批有才华 的青年成为伟大的数学家建立了不朽的业绩。先有拉格朗日、拉普拉斯，后 有高斯、柯西、黎曼等等，这些大数学家都是在欧拉著作的指引下迈进庄严 的数学殿堂的。甚至在今天大学课程里的某些内容，实际上仍然和200多年 前欧拉留下来的一样。欧拉在分析学中所表现出的高深的造诣和超凡的技巧 立刻博得了“分析学的化身”的美誉。
欧拉关于数论的大部分工作也是在柏林完成的。17世纪的大数学家费马 生前提出的大量重要而有趣的命题，到今天为止，世界上还没有人能够把它 们全部证明出来，唯有欧拉证明了其中的大部分。不仅如此，许多命题他还 进一步加以引申和推广，特别是在1745年前后，他发现了18世纪数论中最 重要的定理——二次互反律，这是一项极其了不起的成就。后来的数学家们 为探求它的含义引申出大量极有价值的成果。
但是，欧拉在柏林期间最杰出的成就是关于变分法的工作。
在儿童游乐场里，您一定见到过孩子们喜爱的滑梯吧。顺着后面的梯子 一级级地爬到顶部，身子往滑槽里一坐，哧溜一下就滑到了地面。可是有谁 想过，从顶部A到着地处B，滑梯做成什么形状才能使人在上滑行的时间最 短呢？见图 （1—3）。一般人都可能会认为把滑梯做成直的就行了，因为这 样从A点到B点的距离最短。可是，距离短并不等于时间最省，因为这里没 有考虑到加速度的大小。要知道，直的滑梯的下滑速度是增加得比较慢的。 那么，滑梯到底应该做成什么形状才好呢？早在1696年6月号的《教师学报》 上，欧拉的老师约翰·伯努利就把这个问题提出来向其他数学家挑战。提出 这个著名的“最速降线问题”比欧拉的出生还要早10年。这一类寻求极大或 极小值的问题还可以举出许多例子，它的萌芽可以追溯到古希腊以前的时 代。在古代，传说迦太基人建造城市的时候允许居民拥有用一天时间犁出一 条沟所围成的土地。由于一个人在一天中犁沟的长度一般是确定的，所以对 他们来说，问题就是应该把沟犁成什么形状，所围的面积才最大。
约翰·伯努利的难题在提出以后的第二年就由牛顿、莱布尼兹、雅各布·伯 努利以及约翰·伯努利本人先后给出了解答。可惜他们的工作只做到这里为 止了。在约翰·伯努利的建议下，欧拉在1728年开始涉足这个十分艰难的领 域。他以研究曲面 （主要是地球）上的测地线问题着手，也就是连接曲面上
（地球表面上）的两点，什么样的曲线距离最短？欧拉很快就找到了答案。 不久，他又把最速降线问题加以推广，并且考虑了摩擦力和空气阻力的问题。 接着，他又致力于寻找解决这类问题的更简便的方法。经过前后16年的不懈 努力，他终于获得了成功。虽然他所采用的是分析和几何相结合的方法，而 不是用纯分析的方法，论证过程十分复杂，但是最后的结果却同样简单而且 优美，有广泛的应用价值。 1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性 质的曲线的技巧》一书在柏林正式出版。这部杰作立刻使他被公认为当时最 伟大的数学家。随着这本书的出版，变分法作为一个新的数学分支诞生了。
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