1884年，彭加勒在《数学学报》前五卷发表了关于自守函数的五篇重要 论文，这一划时代的发现使不到30岁的彭加勒闻名于世。从此，他一生事业 的魔杖被抓住了。阿拉丁的神灯（阿拉丁是阿拉伯神话《天方夜谭》中寻获 神灯与魔指环的青年，阿拉丁的神灯即如意神灯，此灯可使持有者百事如意） 被擦亮了。可是，当这组论文的第一篇发表后，克罗内克却警告编辑说，这 篇不成熟的和隐晦的论文会把期刊扼杀掉。
自守函数的研究和微分工程定性理论的研究一样，促使彭加勒重视拓扑 学。1887年，33岁的彭加勒被选入巴黎科学院，像这样年轻的新人进入科学 院实属罕见。大多数数学家在签署意见时认为，彭加勒的工作成就超过了通 常的赞扬，这必然使我们想起雅科毕描述阿贝尔的情况——他解决了在他之 前未曾设想过的问题。事实上必须承认，由于椭圆函数的成功，我们正目睹 数学领域里的一次革命，这次革命在每一个方面都可以和半个世纪前出现的 革命相比较。
彭加勒说过，数学家具有两种截然不同的倾向。有的人具有不断扩张版 图的兴趣，在攻克某个难题后，便抛开这个题目，急着出发进行新的远征。 另外的人则专心致志地围绕着这个问题，从中引出所有能够引出的结果。前 者像一个乘汽车的旅行家，后者则像一个徒步游客。
彭加勒本人就是这样一个在数学新版图上乘车驰骋的旅行家。法国数学 家、彭加勒的传记作家达布谈到彭加勒的这一特点时说：“他一旦达到绝顶， 便不走回头路。他乐于迎击困难，而把沿着既定的宽阔大道前进、肯定更容 易到达终点的工作留给他人”。彭加勒属于库恩所说的发散式思维的科学家， 对于一个科学开拓者来说，这的确是不可或缺的素质。
就这样，彭加勒接二连三地出击，雄心勃勃地进行新的征服。他在函数 论，组合拓扑学 （又称代数拓朴学）、代数学、微分方程和积分方程理论、 代数几何学、发散级数理论、数论、概率论、位势论、数学基础等方面都作 出了开创性的贡献，成为后继者拓展和深究的课题，有些至今仍具有诱人的 魅力。在数学研究的众多领域中，彭加勒永远走在前面。新问题等待着他， 他没有时间仔细琢磨已被攻克的旧问题，他不愿把精力花在那些细枝末节的 小问题上，修正、拓广他作过的东西不是他的职责。维托·沃尔泰拉在评价 彭加勒这一工作作风时说：“对彭加勒而言，整体即是一切，无所谓细节”。 在这方面，彭加勒与高斯迥然不同。高斯的研究成果发表的相对地少，因为 他不管作什么工作，都要琢磨修饰，既要求完美，又要求他的证明达到最大 限度的简明而不失严密性。关于非欧几何，他没有发表过权威性的著作。而 彭加勒却是一位性急而多产的科学家，他甚至说过，他从未发表过一篇既不 后悔它的内容、也不后悔它的形式的论文 （这当然是自谦的说法）。不过， 他们二人有一点则是共同的：他们都没有几个学生，而且都喜欢一人工作。
在数学哲学和数学创造的心理学方面，彭加勒也进行了有意义的探索， 发表了富有启发性的看法。彭加勒巨大的权威性，他的文体的优美，以及他 打破传统的思想，使他的著作超出范围有限的数学界。有的传记作家估计他 的作品有五十万读者，创造了数学界的空前记录，开了一代数学大师的先河。
三、天文学的剑客
自牛顿以来天文学向数学提出了许多问题。直到19世纪之前，天文学家 在处理天文学问题时所用的武器实际上是牛顿、欧拉、拉格朗日和拉普拉斯 所发明的武器的改良。但是。从19世纪开始，柯西发展了复变函数论，他本 人和其他人对无穷级数收敛问题进行了研究，天文学的武库通过数学家的努 力正在扩充起来。对于彭加勒来说，他很自然地想到自己的解析学，他把这 种从未运用过的数学新武器用来进攻天文学。他所发动的战役在当时是如此 地现代化，以致在40多年后，还没有几个人能够掌握他的锐利武器。
在19世纪，法国在理论物理学和其他学科方面失去了霸主地位，但在理 论天文学方面仍然领先一步。彭加勒是这一光荣传统的继承人，他站在他的 同胞克莱劳、拉普拉斯、勒维烈这些天文学巨人的肩膀上，当然会看得更远 一些。他的主要工作有三个方面：旋转流体的平衡形状（1885年）；太阳系 的稳定性，即n体问题 （1889年）；太阳系的起源 （1911年）。
彭加勒对第一个问题的兴趣是被威廉·汤姆逊，即开耳芬勋爵和泰特的
《论自然哲学》一书中的一节激起的。此外，他在讲授流体力学时也对标准 教材中关于旋转流体的处理感到不满。
彭加勒在1885年发表的长篇论文中讨论了由雅科毕椭球派生出来的、甬 动量渐增的新体系的平衡形状，这种形状后来称为梨形。彭加勒定性地描述 说：
让我们设想一个因冷却而收缩的旋转流体，但是它慢到足以保持均匀， 并且在旋转时，它的所有部分都是相同的。起初，它们是十分近似的球形， 逐渐变成旋转椭球，旋转椭球会越来越扁。接着在某一瞬间，它将变为三个 轴不等的椭球。后来，图形将不再是椭球，而变成梨形，直到最后图形腰部 越来越凹进，分裂成两上独立的、不等的物体。
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