1885年12月初，希尔伯特第一篇关于不变量的文章经克莱因提交给了 科学院。
克莱因自己年轻时曾和他的朋友索弗斯·李相伴去巴黎旅行。两个人都 学得了有关群论的知识，这些知识在他们的学术生涯中已经发挥了重大作 用，所以克莱因总是试图把每个有培养前途的德国青年数学家送往巴黎。因 为赫维茨也支持克莱因的忠告，所以在1886年3月的时候，希尔伯特便踏上 了去巴黎的旅途。
在巴黎，希尔伯特不得不和那位很难相处的斯塔迪协力合作这次由克莱 因建立的数学访问。因为斯塔迪也是按照克莱因的劝告，先期到了那里。
希尔伯特一安顿下来，就给克莱因写信。这封信证明他对这位教授非常 之敬重。他首先极细心地打了一份草稿，措词适当而优美，然后用罗马手写 体大字精心书写了一遍，而那时候他给赫维茨写信仍旧用的是歌德体，他遵 照克莱因的教诲，和斯塔迪一起先后拜访了庞加莱、约当、埃尔米特等数学 家。
埃尔米特知道他的年轻客人最关心不变量的课题，他就把他们的注意力 引导到这个理论中最著名的，但仍悬而未决的问题上——“果丹尔问题”。 这使得埃尔米特成了这些法国科学家中对希尔伯特最有吸引力的一位。
希尔伯特在巴黎一心扑在数学上，从不作观光旅行。他在走访和听课之 余，用漂亮的书法编辑并抄写了他为取得讲师资格而写的论文，这件工作进 展很顺利。6月底，在回哥尼斯堡的路上，希尔伯特特地到了哥廷根，向正 在那里任教的克莱因汇报了在巴黎的情况。
1887年 7月，希尔伯特在哥尼斯堡顺利通过了获得讲师资格的学术考 试。他对自己决定留在较偏僻的哥尼斯堡任教感到满意和欣慰，因为他可以 在这里与赫维茨每天去“散步”。
人的一生中，20岁到30岁是最富于科学创造力的黄金时期，对希尔伯 特来说，人生差不多已经过了一半。
四、果尔丹问题
希尔伯特果断地决定，作为一名讲师，他所选择的课目除了教育学生， 也要教育自己。跟许多讲师不同，他还决定不教重复的课，同时，在每天去 苹果林散步的那段时间，他和赫维茨为他们自己确立了一个目标：“系统地 勘查”数学。
第一学期，只有选听他的不变量理论课的学生的数目达到了学校规定的 开课标准。第二学期，他讲授了第一学期想开设而没能开的课：行列式论和 流体动力学。
1888年3月，他感到万事俱备，可以进行他期待已久的旅行了。他选好 了旅行路线，使他能顺路访问21位杰出的数学家，其中有果尔丹、克莱因、 许瓦尔茨、富克斯、赫尔姆霍斯、克隆尼克等。当然，他首先要去拜会的是 埃尔兰根的“不变量之王”——果尔丹。
一段时期以来，希尔伯特已经熟悉了果尔丹问题；现在，他终于听到了 果尔丹本人的讲述。他似乎体验到了一种过去从未有过的新境界。这个问题 唤起了他那几乎无法思议的完美想象力。
正如希尔伯特本人后来所列举的那样，一个重大的富有成效的数学问题 应具备下述的每一个特点：
清晰性和易懂性 （“因为清楚、易于理解的问题能吸引人的兴趣。而复 杂的问题使人望而却步”）；
困难的（“这才能引诱我们去搞它”）而又不是完全无从下手解决的（“免 得我们劳而无功”）；
意义重大 （“在通向那隐藏着的真理的曲折路径上，它是一盏指路明 灯”）。
果尔丹问题使他像着魔一般怎么也放不下手。在旅行访问结束之后，希 尔伯特回到了哥尼斯堡，但他的思想却终日沉浸在这一问题中，甚至在他喜 爱的舞会上也没有停止思考它。
9月6日，希尔伯特给哥廷根科学会的《通讯》寄去了一份短短的注记。 在这篇注记中，他完全出人意料地开辟出一条全新的路径，表明如何用统一 的方法对任意个变数的代数形式建立起果尔丹定理。这个轰动世间的关于不 变量系有限基存在性的证明，其基础是一条引理，即关于“模”的有限基的 存在性。“模”是希尔伯特在研究克隆尼克的工作时得到的一个数学概念。 这条引理如此简单，看起来极其平凡。而果尔丹的一般性定理又可以从它直 接导出。这件工作是体现希尔伯特思想之精神实质的第一个例子。
即使完成了1890年的那些工作，果尔丹问题仍萦绕在他的心中。作为一 名数学家，比起存在性证明来他还是更喜欢有一个实际的构造。在其后的两 年间，他的工作开始发生了变化。代数构成的思想浇灌了他的心田。突然， 在1892年，希尔伯特用他的结果结束了一直被人们讨论不休的不变量理论， 整个理论的呼吸随之停止了。
随着希尔伯特超凡脱俗地拨开了果尔丹问题的迷雾，他开始认识了自 己，也找到了他的研究方法——钻研单个的重要问题，这个问题的解决，其 意义将远远超出问题本身。可是，正当大家期望希尔伯特能来重整果尔丹这 个学术领域，从而使它摆脱一筹莫展的局面时，却出现了人们无论如何意想 不到的情况：希尔伯特不愿再为承担上述工作而花费时日了。最初引起他兴 趣的问题被解决了，就意味着他自由了。他将坚决地离开它，迎着更深奥的 课程前进。
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