朱载堉的最后一项数学工作是他找到了计算等比数列的方法，并成功地 将它应用于求解十二平均律。这一点在数学史和律学史上都是有意义的。朱 载堉在《律学新说》和《律吕精义》两书中是采用一种数学表达方式来叙述 十二平均律的，这就是：将八度音程比值2进行12次方根运算，第12次方 根值即是十二平均律的半音音程；既求得半音音程，那么，只要将起始音音 高除以半音音程值，连续作这样的12次运算，就得到了十二平均律的各个音 高值。实际上，这就是在八度中构成等比数列的方法。
六、物理学
在声学方面，朱载堉对乐器的共振现象作了细致的分析。在今天看来， 二个音的振动频率成整数比或简单分数比，就可以发生共振，在音乐学上， 就能产生悦耳的和声效果。在朱载堉看来，成整数比的二个音称为“正合”， 成简单分数比的二个音称为“旁合”，并且说，“旁合为和，正合为同”。
“正合”也称为“应”，“弹宫宫应，弹徵徵应，日应；弹宫徵和，弹徽商 和，日和。”他又说，“凡丝弦之属，宫与宫协为正合 （商以下做此）；宫 与徵协为旁和（商与羽协，羽与角协做此）。正合为同，旁合为协。”“筝 弦隔六为正合，隔三隔四为旁合”。
在瑟中，他又详细举了撮八 （又称隔八）为正合，而上生撮四、下生撮 五为旁合。例如，瑟第1与第8弦，第15与第22弦皆为宫音，第2与9， 第16与第23弦，皆为商音；第3与10，第17与24弦皆为角音；第4与11， 第18与25弦皆为变徵音；第5与12，第19弦皆为徵音；第6与13，第20 弦皆为羽音；第7与14，第21弦皆为变宫音。这些弦都是撮八正合音。这 些音是纯八度相合。由弦线较长的音生弦线较短的音为下生，即由低音生高 音，如宫与徵，商与羽，角与变宫等为旁合，亦即撮五旁合，反之为上生， 则是撮四旁合，如变宫与变徵，羽与角，徵与商等。这些音是纯五度相和。 这些发音分析，在音乐物理学上又称为谐和分析，也是和声学中的基本内容 之一。在音乐实践中，朱载堉吸取了民间笙师的经验，利用复音乐器笙的几 个和声管来验证律管和其它乐器的发声，作了极好的和声实验。
为了要测定准确的黄钟律管，朱载堉认为，不能以黍粒决定它的容积， 而改用水银。因此，他相当准确地测定了水银密度。他所测定的水银密度与
3 现代测定的水银密度比较，当0℃时，误差为+0.2672克/厘米 。当20℃时，
3 3 误差为+0.3165克/厘米 。平均误差为0.2912克/厘米 ，近似于0.3克/厘
3 米 。其精确性令人惊讶。
朱载堉的又一个物理学工作是测定了地磁偏角。在世界上最早发现地磁 偏角的是宋代沈括，但他没有具体记下偏斜角度及地理位置。朱载堉用“正 方案”对地磁偏角作了具体的测定。所谓“正方案”，它是由郭守敬发明的 一种利用桌影来测定南北方向的仪器。桌置于该仪器平板的中心，以此中心 为圆心画有同心圆若干。同心圆可按需要画上刻度，如朱载堉将圆分为百刻。 当南北方向测定后，指南针的方向与南北方向的夹角即是磁偏角。根据朱载 堉的测量，其地磁偏角为
1
1
3
×360°= 4.8°= 4 °48 ′
100
朱载堉是在1567—1581年间在北京测得的这个磁偏角。也就是说，在那 个时候北京的磁偏斜为偏离地理南北方向朝东4度48分。
七、音乐的艺术实践
王国维讲治学的三种境界，其第一境界用宋代词人辛弃疾的话“昨夜西 风凋碧树，独上高楼望尽天涯路”，写出了大学问家未被世人普遍认识时的 孤独之感与造诣的独到。朱载堉就是处于这种境遇。由于朱载堉并未得到当 时人的真正理解，因此，我们从他同时代的记述中找不到他在音乐活动中的 全面的、或稍为具体的材料，没有什么史料可以说明他怎样精通古乐器的演 奏，他是否长于歌唱，他作过多少乐曲，等等。但是，只凭《乐律全书》就 可以看出，他在音乐艺术领域中已是一个十分全面的实践家。他不但常和琴 家交往，还能虚心地向点笙匠请教乐器工人的技艺问题他也注意总结、记录。 他的乐艺宫廷的专业乐工遇到实际问题时，还要来向他讨教，就可知道他的 造诣达到什么水平了。
朱载堉最重要的音乐实践，就是恢复旋宫古法。旋宫，用现代概念说， 就是调高的改变。按民间的一般说法，就是调门高低的变化，一段音乐，原 来是C调（以C音作宫音），又变到G调（改用G音作宫音）去演奏、演唱， 这就是旋宫。同一段音乐当中，前面是C调的，后面又变成别的调门，这也 是旋宫。先秦的古乐就是用旋宫法的。但自汉以来，旋宫法失传了。汉以后， 律学研究中的许多创造，可以说是围绕着旋宫古法这个课题在那里发展的。 原因是古法失传，而传下来的三分损益法很难解决自由旋宫问题。这使律学 家们不得不绞尽脑汁去探寻各种新的途径。真正彻底地从理论到实践解决了 旋宫问题的，就是朱载堉的新法密率，也就是现在世界上通用的，平均律的 调律法。
朱载堉恢复旋宫古法，在律学上并不是“恢复”古代原有的东西，而是 全新的创造，在音乐实践上是真正地实现了汉以来律学家的梦想，使失传了 的东西重新“活”了起来。
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