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圆周与直径的比例大于3 。然后他又用几天时间，划出圆的外切96边形
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1
，算出圆周与直径的比例小于3 ，他把这个范围取做圆周率的近似值，
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10 1 得到π值得3 ＜π＜3 ；即3.1409 ＜π＜3.1429 ，取其平均值，得出
71 7
圆周率π值为3.1419 ，与我们现在所知的π值误差极小。
阿基米德计算π值所使用的无限细分、接近圆周的办法，后人称之为“穷 竭法”，这种方法一直被后人使用了2000多年。后人计算出的圆周率，精确 度大大提高了，但使用的计算方法，仍是阿基米使用过的“穷竭法”。到了 18世纪，牛顿和莱布尼兹在这一巧妙思想方法的启发下，发明了微积分，由 此奠定了高等数学的基础。因此，牛顿——这个科学界划时代的巨人曾说过： 如果说我伟大的话，那也只不过是因为我站在巨人的肩膀上。
计算出圆周率π的值了，阿基米德又得出了计算圆面积的方法：圆的面
1 积= r ·圆周长，
2
1 1
即 r πd = r ·π·2r = πr2 。
2 2
阿基米德不仅是第一个计算出圆面积的人，也是第一个算出球表面积是 球上的大圆面积的4倍的人。他最得意的发现，要算是圆柱的体积了。他算 出圆柱的体积等于高度与底直径相等的内含球心体积的一倍半，为此，他要 求他的后人在他的墓碑上刻一个球内切于圆柱的图形，以纪念这一不朽的发 现。
阿基米德对数学的贡献还表现在他发明的一种简便的计数法。
天上的星星地下的沙，可算是人们最难计数的东西了。阿基米德在《沙 粒的计算》一书中写道：有人认为，如果把地球想象成一个大沙堆，并在所 有的海洋和洞穴里填满沙子，一直到与最高的山峰相平，那末，这样堆起来 的沙子的总数是无法表示的。的确，在当时还没有我们现在使用的阿拉伯数 字，叙拉古人是用古希腊字母表示数目的，这种计数方法不但麻烦，而且有 限。当时数字的极限是“一万”，如果用字母A表示，那么要表示“1000万”， 就要写出1000个A字，而不象我们现在只用几个零，写成10 000 000就行 了，而且全世界的人都认识。随着科学的发展，人们对宇宙已有所认识，要 想表示宇宙有多大就成了一个难题，阿基米德努力探求用最少的符号来表示 很大数目的方法，终于提出一个具有重要意义的计数方法，即以“一万”作 为一个大单位，在此基础上继续计数，1个一万，2个一万，3个一万……直 到一万个一万，得到万万这个数，就是我们现在叫做“亿”的数，用现在的
8 计数方法可表示为10，阿基米德将这个数作为第一级的数，称为“首数”，
16 在首数这个单位中又进行万万倍，得到10，称为“二数”，又将“二数”
24 万万倍，得到10，作为“三数”，……在这个方法上依此类推，就可以简 便地表达出无穷大的数。这就是阿基米德在 《沙粒的计算》一书中告诉大家 的“用我的方法，不但能表示出占地球那么大的地方的沙子的数目；甚至还 能表示出占据整个宇宙的沙子的总数。这种计数方法突破了当时最大的数“一 万”的局限，大大简化了计算办法，使思路更容易集中、更清晰。后人在“亿” 这个新的计数单位的基础上，又发明了“兆”做为新的计数单位。随着科学 的发展和我们对未知世界的了解，又引进了“光年”这一新的计数单位表计 算宇宙间星与星的距离。“光年”即光（300000公里/秒）运行一年的穿行 距离，一光年等于几乎10万亿公里，这么庞大的数字，能这么简单地用“光 年”表示出来，并进行计算，正是得益于阿基米德《沙粒的计算》中所提出 的思路和方法。
四、王冠的启示
阿基米德发明的“阿基米德杠杆”、“阿基米德螺旋”一直指导着人们 的生活实践，阿基米德被叙拉古的人民尊称为：最聪明的人。他的头脑里中 装着无数个问题，他的生活就是在不断探索问题、研究问题、解决问题中渡 过的。
叙拉古每年一度的祭神节快要到了，一天，国王亥洛将一纯金的金块发 给叙拉古最有名的、手艺最高的金匠，让他给国王制作一顶金王冠，以便在 祭神节那天装点服饰。几天以后，金王冠送来了，它金灿灿、亮闪闪，那上 面的花纹珠络，都是精缕细刻，可谓巧夺天工。所以国王看到如此漂亮的王 冠，心里非常高兴。但国王转念一想：金子是世界上最具诱惑力的东西了， 如果王冠中掺假，那就大大逊色了。他焦躁地掂了掂王冠的重量，仔细观察 每一处细小的零件，看不出有什么破绽，于是就将金匠叫来，问道：“你还 记得我给你的金子有多重吗？你如果胆敢掺假，小心你的脑袋。”金匠从容 不迫地说：“陛下，小人怎么敢弄虚作假，那块金实在是全部用在王冠上了， 如若不信，请称重验证。”国王依他所说，派人拿秤来称了王冠，果然王冠 的重量与国王给金匠那块纯金的重量相等。但其他的大臣又提出其他的疑 问：如果金匠在王冠里掺银子，份量不是也一样吗。国王想，对呀，如果王 冠外面是金的，里面掺银，不是也看不出来吗？又不能将王冠的所有零件全 部拆开重新验证。在场的大臣谁也没有办法解决这个问题。苦无良策的国王 于是想到了大科学家阿基米德，于是派人把这个全国最聪明的人请来，让他 在不损坏王冠的条件下，弄清楚王冠里面有没有掺假。
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