2 1
所以说置换 （1 2 3……n）
-k n
将r之值变为ρ rk。又因P＝1，故
k
n -k n
（r）＝（ρr），
k k
n
所以置换 （1 2……n3）不变更r的值。同理，群中其它置换也不改
k
n 变r的值。这就是说，所有r的值都可由根式得到。由③，可将x用ρ与r
k 表示，则方程式③可用根式解。这样，就证明了：如果方程式在一个数域中 的群是元素个数为质数巡回正置换群，则此方程式一定能用根式解。
举例来说，方程式
3
x-3x+1＝0
在有理数域中的群是 1，（1 2 3），（1 3 2）。它是一个元素个数为 质数的巡回正置换群，所以可从x+x+x＝0，
1 2 3
2
x+ωx+ωx=r，
1 2 3 1
2
x+ωx+ωx＝r，
1 2 3 2
这三个一次方程式中解它。此处ω表示1的一个虚立方根，r与r可以
1 2 由数域中的数的根数得出。换句话说，如果把这种根数加入到数域中，则x 都存在于扩大的数域中。
在一般情况下，常可以
2 2 2 2
y=（x－x） （x－x）……（x -x）作第一个辅助方程式，其右
1 2 1 3 n-1n 端是所有每两个根之差的平方之积。假如方程式的第一项系数是1的话，那 么，上式右端则是方程式的“判别式”。例如二次方程式
2
x＋bx＋c＝0
的两个根x，x的差的平方是
1 2
2 2 2
（x-x）＝（x+x）－4xx＝b－4c，这恰是方程式的判别式。同样，
1 2 1 2 12 高次方程式的判别式也可从系数求得。
再设所要解的方程式是一般的三次方程式，将第一个辅助方程式的根加 入原数域后，方程的群为H，即一个元数为质数的巡回正置换群。这样，可 利用
x+x+x=-b，
1 2 3
2 2
x+ωx+ωx=r，x+ωx+ωx＝r，
1 2 3 1 1 2 3 2
这三个一次方程式来解原三次方程式。其中r，r可由数域中数的根数
1 2 求得。x，x，x存在于这个最后经r，r的加入而扩大成的数域中。
1 2 3 1 2
这样就证明了：方程式在一个由其系数与1之n个n次根而决定的数域 中的群若是一个可解群，则此方程式是可以用根式解的。
伽罗瓦的群论，是解决数学问题的重要工具，它对于数学就如同语言对 于人的重要性一样。正像人们评价的，“无论在什么地方，只要能应用群论， 就能从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐”。“群的概念是近世纪科学 思想出色的新工具之一”。
中外科学家发明家丛书：伽莫夫
伽莫夫是本世纪著名的物理学家，他在理论物理学、天体物理学、核物 理学、生物遗传学等诸多领域都取得了令人瞩目的成就。同时，他还是一位 出色的科普作家，由于在普及物理学、天文学和其他自然科学方面作出的贡 献，他荣获了联合国教科文组织授予的卡林伽奖。
伽莫夫在他的研究中常常能够连续多年致力于某些难题，进行反复研 究。他所具有的那种洞悉物理学理论各种模型之间类似关系的能力，几乎达 到不可思议的程度。在当今这个数学运用越来越复杂的时代，伽莫夫仅仅运 用直观的图画，以及运用由历史比较或甚至与艺术比较得来的类似关系所取 得的成绩，着实令人耳目一新。
伽莫夫研究中的另一个特点体现在他所选择的论题的性质上。他从来不 允许自己偏离问题的主流而去追逐不重要的细节。正是在基础物理学的主流 方面，在宇宙学方面和生物学的最新发现上，伽莫夫的思想起了重要的作用。 在物理学、天文学方面，他解释了原子的放射性衰变规律，并且提出宇宙起 源于爆炸并随后形成各个星系，即著名的宇宙大爆炸理论。在生物学上DNA 分子结构被发现之后，伽莫夫最先提出，实际上有支配生命过程发展的、由 四个符号组成的三元体密码的存在。总而言之，人们在他的研究中除了能看 到各种出类拔萃的特点之外，还能看到他的兴趣和能力使他在很广的科学领 域中进行出色的业余性质的研究。
自然流畅的思路，简单通俗的描述，平易、有趣的风格，是伽莫夫科普 作品的风格，由于这些特点，他的书受到广泛欢迎。他的书有一个突出特点 是简明易懂，避免叙述不必要的技术细节，这也是他研究工作的显著特点。 他的朴实使他完全按自己的思想方式写作，这种思想方式就像法国哲学家、 科学家笛卡尔所说：通过把复杂的事物分解成较简单的几个部分来使思想条 理化，从而达到分析复杂事物的能力。在另一方面，伽莫夫的著作反映了他 对宇宙万物所抱的完全自然坦率的态度。一种对自然界物质系统——从极其 宏观到极其微观的世界——不可抑制的好奇心引导着他在核物理学和宇宙学 领域里探索。
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