高斯是一个兴趣十分广泛的学生，他既喜欢自然科学，也喜爱文学、绘 画等社会科学。他在语言学方面有着突出的表现，他不仅能阅读拉丁文和希 腊文，而且还能用它们来写文章，文字表达能力极强。在上大学的第一学年 中，他对自己究竟是研究数学还是专攻古典文学犹豫不决。因为，这些专业 他都爱不忍释。但是，1796年3月30日，高斯出色地解决了数学史上的一 个难题——正 17边形的尺规作图这件事，终于促使他下定了攻读数学的决 心。
尺规作图是古希腊学者提出的数学问题。早在欧几里得的时候，人们就 已经能仅用直尺和圆规作出正三边形、正四边形、正五边形和正12边形。但 是，当他们试图用这两种工具作正7边形、正11边形或正17边形时，便遇 到了极大的困难。在后来的两千多年间，人们虽曾作过许多努力，却都未能 成功。于是，有关这类图形的尺规作图就成了世界难题，向人类的智慧提出 了严峻的挑战。当时的许多数学家都认为这个问题是不能解决的。
1796年3月30日这一天，高斯正在故乡布伦瑞克家中休假。清晨起床 后不久，他就用圆规和直尺成功地画出了正17边形。之后，他又提出并证明 了这种作图的可能性的条件。假期结束后，高斯带着他的结果去见哥廷根大 学教授、他的老师克斯特纳。克斯特纳听说高斯正在进行正17边形的作图， 并且称自己已经解决了，很不相信。他告诉高斯，关于这个问题的精确解是 不可能得出的，得出的只能是近似解。他不相信高斯的成果，把高斯赶出了 家门。
事实上，高斯的答案是正确的，他不仅解决了正17边形的尺规作图，而 且对这类作图问题的可能性作了一揽子回答。他的结论是：“一个正n边形
m 能用尺规作出，仅仅在n可表示为如下形式时才是可能：n=2·pp…p；其
12 n
2k 中 p，p，…，p为各不相同之素数，且具有2＋1形式。”特别是，当 n
1 2 n
2k 为素数时，n具有2＋1形式即为尺、规作正n边形的充分条件。根据这个 结论，人们就可以毫不费力地断定，哪些正多边形是可用尺规作出的，哪些 则不可用尺规作出。比如，正17边形虽然能用尺规作出，但边数比它少的正 7、9、11、13边形却不能。这样，困扰了几何学家达2000年之久的难题终 于被这位18岁的德国青年作出了完满的答案。下面是正17边形的尺规作法：
正17边形的完整作法只需一页篇幅；正257边形的尺规作图就要占用 80页纸；而后来数学家盖尔英斯按照高斯方法作出的正65537边形的手稿整 整装满了一只手提箱。这份手稿至今仍保存在哥廷根大学的图书馆里。
1796年6月1日，在《文献汇报》的知识分子专栏中，通过学校一些教 授的推荐，高斯发表了他关于成功画出正17边形的第一篇论文，并将这一最 新发现公诸于世，齐默尔曼教授在推荐文中指出：这是数学上的巨大成果， 完成这一成果的是一位年仅18岁的大学生，而且他在古典文学上的造诣也不 亚于高等数学的成就。
这次成功使高斯大为振奋，从此他下决心把毕生精力奉献给数学科学。 他十分珍视这一成果，并希望死后能在他的墓碑上刻上正17边形的图案。
从1795至1798年的大学三年间，是高斯思维的旺盛时期。各种神奇般 的想法，像喷泉般地涌流出来，它涉及到数论、代数、分析、几何、概率论 等各个方面。高斯后来发表的成果都可以在这个时期里追溯到思想的脉络。
1798年9月29日，高斯以优异的成绩结束了在哥廷根大学的学习生活。 大学毕业后，高斯没有立即找工作。他回到家乡布伦瑞克赶写博士论文。
当时，高斯可选择的论文题目有很多，但他选择了代数基本定理的证明 这一难度大影响大的论题。论文第二年完成，题目是： 《关于每一单变量代 表整函数都可分解为一阶或二阶实因子之积的证明》。论文以十分新颖的思 考方式对代数方程根的存在作了严格的论证。高斯的方法不是去计算一个 根，而是去证明它的存在。他指出P（x+iy）＝0的复根a＋ib相当于平面上 的点（a，b），如果P（x＋iy）＝U（x，y）＋iV（x，y），那么（a，b） 必定是曲线U（x，y）＝0和V（x，y）＝0的交点。通过对这些曲线作定性 的研究，他证明了一条曲线上的一段连续弧连结着两个不同区域上的点，而 这两个区域是被另一条曲线隔开的，所以曲线U（x，y）＝0和曲线V（x，y） ＝0必相交。
高斯的论文除提交给赫尔姆斯塔特大学外，还分发给了当时他认为有资 格对其代数基本定理的论证进行专业评价的37个人和机构。由于高斯的论文 解决了前数学家达朗贝尔、欧拉和拉格朗日试图解决而没有解决的问题，因 此，他的论文受到赫尔姆斯塔特大学校务委员会的肯定。在高斯缺席答辩的 情况下，通过了论文。论文评定人是该大学著名的数学教授普法夫。他对高 斯的评语是：“这篇论文具有许多优点，说明作者才华突出，通篇叙述充满 了完全合理的推论和令人信服的证明。因此，这篇论文出版以后，高斯博士 学位将为我们大学增添无比的荣誉。”因此，高斯获得了博士学位。同年， 高斯获得讲师职称。
高斯的论文虽然获得了成功，但是，这成功的背后却有着艰辛的历程。
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