第3类问题，即第7及第9—14问，是求各种形状的仓房、地窖或其一 段的高 （深）、广、径问题。
第4类问题：即第15—20问，是已知勾、股、弦三事二者之积或差，求 勾、股、弦问题。
这类勾股问题在中国数学史上是首次提出。
第2、3、4类问题大都归结为一个开带从立方即形如：
3 2
x＋Ax＋ Bx＝C（ A、 B、C均为正）的三次方程。有的勾股问题要归 结为形如：
4 2
x＋Bx=C的四次方程，通过两次开平方解决。
王孝通虽然已能列出三次方程，但他不懂天元术，完全用几何方法推导 方程，所以需要高度技巧，不易被一般人掌握。实际上，宋代以前的方程理 论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正，因为常数通常是表示面积、体 积等几何量的；方程次数不高于三次，因为高于三次的方程就难于找到几何 解释了。王孝通的四次方程，是通过两次开平方解决的。
经过北宋贾宪、刘益等人的工作，求高次方程正根的问题基本解决了。
贾宪（公元11世纪上半叶），北宋仁宗时任左班殿直，是三班小使臣， 属武职。贾宪著书有两种，一为《黄帝九章算经细草》9卷，一为《算法学 文古集》6卷。
贾宪改进了传统的开方法，创造了开方作法本源和增乘开方法，对中国 古代数学的算法理论作出了杰出贡献。
贾宪的第一个贡献是提出立成释锁法并创造开方作法本源。求二次及其 以上次数方程的正根，中国古代统称开方术。开方在宋元时又称为释锁。
贾宪提出的立成释锁法，如开平方的程序是：
作4行布算，依次是商 （根）、实（被开方数或常数项）、方法（一次 项系数）、下法（二次项系数，此处是1）。将下法自右向左隔一位移1步， 至实的首位而止；以商的第1位得数乘下法，置于方法，以上商乘方法，减 实；以2乘方法，退1步为廉，下法退2步，得出减根方程，再如法求第2 位得数。
贾宪的方法与现今方法无异。
立成是唐宋时期历算家列的算表。顾名思义，立成释锁法是利用一种算 表进行开方。这种算表便是开方作法本源，今称贾宪三角。
在欧洲，贾宪三角被称为帕斯卡三角，是法国数学家帕斯卡在17世纪初 创造的，比贾宪晚出600年左右。
三、 《测圆海镜》
贾宪三角是将整次幂二项式系数
n
（a＋b） （n＝0， 1， 2，……）
自上而下排成一个三角形。
贾宪三角下面有五句话，前三句“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆 廉”说明了它的结构，即积、隅、廉的位置；后二句“以廉乘商方，命实而 除之”，提示了积、隅、廉在立成释锁法中的应用。
显然，利用贾宪三角，当时人们已经把开方术从这之前只能开二次、三 次方推广到开任意高次方。
随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种一般的、能建立任意次方程的 方法，天元术便应运而生了。但在李冶之前，天元术还比较幼稚，记号混乱， 演算烦琐。
李冶致力于创造一种简便的、适于各种问题的列方程方法。他认识到， 只有摆脱几何思维束缚，建立一套不依赖于具体问题的固定程序，才能实现 上述目的。
李冶总结出的列方程程序是：
首先立天元一，这相当于设x为未知数；然后寻找两个等值的而且至少 有一个含天元的多项式；最后把两个等值多项式联为方程，通过“相消”化 成标准形式
n n-1
ax+ax +…a=0
n n-1 0
李冶的《测圆海镜》便是天元术的代表作。
《测圆海镜》把勾股容圆（切圆）问题作为一个系统来研究，讨论了在 各种条件下用天元术求圆径的问题。
卷一的圆城图式是全书出发点，书中170题都和这一图式有关。
卷一的另一部分“识别杂记”阐明了各勾股形边长之间的关系及其与圆 径的关系。
识别杂记共600余条，每条可看作一个定理 （或公式），其中最重要的 是下面10个圆径公式 （D表直径，r表半径，a，b，c表勾、股、弦）
1
（1） D2
2 合并同类项，得2x－340x＋ 12000= 0）。上下俱半之，得 （化简，
2 得x－170x＋6000＝0）。以平方开之，得一百二十步（解方程，得 x＝120）。 倍之即圆径也，合问 （所以D=2×120＝240）。
李冶由于摆脱了几何思维束缚，在方程理论上取得了四项进展：
第一，改变了传统的把实（常数项）看作正数的观念，常数项可正可负， 而不再拘泥于它的几何意义。例如：卷六第四问所得方程为
2
-x－72x＋ 23040= 0，
第七问所得方程为
2
-x+640x－96000= 0，
两题常数项的符号恰好相反。实际上，《测圆海镜》中方程各项的符号 均无限制，这是代数学的一个进步。
第二，李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。书中 170题，有 19 题列出三次方程，13题列出四次方程，还有一题列出六次方程。在这里，未 知数已具有纯代数意义，二次方并非代表面积，三次方程也并非代表体积。
小贴士：如果觉得52书库不错，记得收藏网址 https://www.52shuku.vip/ 或推荐给朋友哦~拜托啦 (>.<)
传送门：排行榜单 | 好书推荐 |