“牟”是相等的意思。这时当球与“牟合方盖”同时被水平截面所截，两截 面积之比就是π：4；它们的体积之比也应是π：4，即
V V =π∶4，
球： 牟台方盖
由此得
π
V = V 。
球 4 牟合方盖
如果牟合方盖的体积能够求得，那么球的体积也就得到了解决。但刘徽 最终没能求出牟合方盖的体积，只好留下了的遗愿，希望后人能解决这个问 题。
刘徽的遗愿，在他逝世二百年后终于得到实现，祖冲之父子完成了这项 事业。祖氏父子也是依据刘徽的思路，把牟合方盖做为解决问题的钥匙，经 过反复研究，他们发现了著名的原理：“缘幂势既同，则积不容异。”这句 话中“势”指高，“幂”指面积，意思也就是：介于两个平行平面之间的两 个立体，如果它们的高相等，当两者被任意一平行面所截，而截面相等时， 则两立体的体积也必相等。根据这个原理，考虑到球的外切立方体去掉牟合 方盖的剩余部分与牟合方盖体积对比关系，最终求得了牟合方盖的体积公式 为
2 3
V = （2r）。
牟合方盖 3
π
代入刘徽的结果V = V ，经整理得到
球 4 牟合方盖
V球= 4 πr3 ，
3
22
这就是球体积的正确公式。当时祖氏父子以π= 代入，公式就变形为
7
11 3
V = （2r ）。
球 21
就这样，球体体积计算得到了最后解决，这是我国数学史以及世界数学 史上一件重要事情。而前面所提到祖氏父子发现的原理在祖 时被最终确 定，所以也被称为“祖 定理”。“祖 定理”与球体积公式的提出，是可 以与圆周率的精确推算相媲美的伟大贡献。在国外，直到十七世纪才由意大 利数学家卡瓦雷利重新提出。晚于祖氏父子一千一百多年。
根据唐朝王孝通的记载，知道祖 也作有《缀术》一书，是对祖冲之《缀 术》的补充，并且记载了祖 与其父推求球体积公式的过程，以及棱台、楔 形体等几何方面的内容。这本书在当时得到人们的一致好评，被赞为“精妙 之作”。可惜也早已失传。
此外，祖 对于建筑和土木工程设计也有研究，担任过梁朝掌管官府中 的工匠和建筑工程的材官将军。天监十三年（公元514年），梁武帝下令征 发军民共二十万人，修筑浮山堰 （今安徽凤阳东北），企图阻塞淮河，水灌 被北魏占领的寿阳城（今安徽寿阳县）。祖 等有关人员奉命勘测地质情况， 他们发现堰址松软，不宜筑堰，上报梁武帝。梁武帝不听，坚持在原址筑堰。 一年半以后，在付出了无数人的生命和大量物资的情况下，浮山堰筑成了。 寿阳城虽然被冲毁了，但附近百姓也流离失所，只好住在山岗和高地上。接 着，在天监十五年 （公元516年）秋，此地连降大雨，引起洪水泛滥，浮山 堰被冲溃，大水瞬时汹涌而出，吞没了淮河沿岸的村镇，十多万人被夺去了 生命，还有更多的人无家可归，到处是一片凄凉的景象。这个悲惨事件的祸 首应该是刚愎自用的梁武帝，但他却迁罪于浮山堰的施工负责人员，祖 因 此被判刑入狱。
刑满出狱后，祖 失去了科研的信心，很少从事科学活动了。后来他把 更多的时间转向了研究术数 （占卜问卦），著有《天文录》和《天文录经要 诀》等有关术数方面的书；此外，他还著有《权衡记》一书，是讲度量衡制 度的。但这些书也都早已失传。
读到这里，我们会发现：为什么祖氏父子的著作都失传了呢？究其原因， 既有天灾，又有人祸。我国是一个有着五千年文明历史的国家。随着社会的 进步，文化的发展，书籍的品种与数量也在不断增长；但在增长的同时，图 书散失，消亡的现象也十分严重。对于这一现象，隋朝的牛弘作出了历史总 结，首先提出了“五厄”之说，把图书在较短时间内遭到大规模毁坏称为一 厄。按照这一思路，中国古代和近代我国的图书典籍大致遭受了十二厄。
1．周室衰微
春秋初年，周王室衰微，诸侯势力膨胀。他们认为周王朝的典章制度严 重妨碍了自己的政治野心，于是便从记载着这些典章制度的周王室藏书入 手，进行大肆破坏。使得图书损失严重，如《仪礼》最初有三千篇，至二百 多年后的孔子时，经搜集整理仅存十七篇。
2．始皇焚书
秦始皇统一中国后，为了控制人民思想，下令焚烧除秦史、医药、卜筮、 种树以外的一切书籍。这次焚书给我国古代文化典籍带来了无法估量的损 失，先秦的典籍，在系统上被无可挽回地破坏了。
3．项羽入关
秦朝灭亡后，公元前207年，项羽率军进入秦都咸阳，大肆烧杀掠夺。 秦始皇焚书时，曾允许自己的博士官收藏部分诸子百家书籍。但至此，博士 官收藏的这些书也被付之一炬。先秦的许多书籍也就因而失传。
4．更始战乱
公元二十五年，农民起义军“赤眉军”在樊崇带领下攻入国都长安。杀 死更始帝刘玄，并将长安的宫殿、街市、民房全部烧毁。西汉二百年间所搜 集、整理的三万多卷皇家藏书也随之被焚。
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