“尖锥之算法”乃是
“以高乘底为实，本乘方数加1为法，除之得尖锥积”。
又，“二乘以上尖锥所迭之面皆可变为线”，
“诸尖锥既为平面，则可变为一尖锥”。
n
这样，对于一切自然数n，乘方数X都可用线段长表示，它们可以积迭 成n乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线，高线和凹向的尖锥曲线组成。 乘数愈多（即幂次愈高），尖锥曲线其凹愈甚（图2）。
2 -8 2 -8
在《方圆阐幽》中，李善兰取X=10及X=2×10，用“分离元数法” 归纳得二项平方根展开式
2 ∞ (2n 其中正切、正割、正反切、正反割的幂级数展开式是在中国首次独立得到的。
在《对数探源》中，李善兰列出了十道命题，从各个方面描述对数合尖 锥曲线的性质。例如命题九“凡两残积，此残积之高与彼残积之高，彼截线 与此截线可相为比例。”（图5）
即是说xy=xy，或xy=c（这里c=bh为常量）。然后，根据这些性质
1122 得出了对数的幂级数展开式
∞
1
lgn 誉。英国传教士伟烈亚力 （1815—1887）说：
“李善兰的对数论，使用了具有独创性的一连串方法，这到了如同圣文 森特的格雷戈里 （1638—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果。”
“倘若李善兰生于纳皮尔（1550—1917）、布里格斯（1556—1631）之 时，则只此一端即可闻名于世。”
顾观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法高明、简捷，认 为这是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰说：“中土 李 （善兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，并大声疾呼“以告中土 之受欺而不悟者”。
四、著书与交往
1845年，李善兰还撰著了《四元解》 2卷。
《四元解》是解释元朱世杰《四元玉鉴》中的高次方程自消之解法。
朱世杰字汉卿，号松庭。北京附近人。他的《四元玉鉴》成书于1303 年，全书分3卷，24门，共288个问题，最主要的问题是四元术。
四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的。
四元术是多元高次方程列方程亦解方程的方法，未知数最多时可至4 个。
四元术开头处总要有
“立天元一为××，地元一为○○，人元一为△△，物元一为**”，即 相当于现代的
“设x，y，z，u为××，○○，△△，**。”
天元术是用一个竖列的筹式依次表示未知数（x）的各次幂的系数的，而 四元术则是天元术的推广。
朱世杰的四元术消去法，即将多元高次方程组依次消元，最后只余下一 个未知数，从而解决了整个方程组的求解问题。譬如：二元二行式的消法， 其步骤可简述如下：
例如“假合四草”中“三才运元”一问，最后得出如下图的两个二元二 行式，这相当于求解
相消。”也就是
F（z）=AB-AB=0。
01 10 此时F（z）只含z，不含其他未知数。解之，即可得出z之值，代入上式任 何一式中，再解一次只含x的方程即可求出x。
李善兰的《四元解》，则是以自己的见解解四元方程组，对了解朱世杰 原意帮助不大。
1848年，李善兰撰著《麟德术解》，解释唐李淳风（602—670）“麟德 历”中的二次差内插法。
李淳风，岐州雍县 （今陕西风翔）人。撰麟德历，于公元665年行用。
麟德历引进了刘焯 （544—610）的二次差内插法推算太阳和月亮的不均 匀运动。
刘焯的二次差内插法全称是等间距二次差内插法，它的算式可以概括为
t ( △ 广泛的交往。
五、翻译西方科学著作
1852年夏，李善兰到上海墨海书馆，将自己的数学著作给来华的外国传 教士展阅，受到伟烈亚力等人的赞赏，从此开始了他与外国人合作翻译西方 科学著作的生涯。
伟烈亚力祖籍苏格兰，1791年其父移居伦敦。他先后在苏格兰和伦敦上 学，中学毕业后跟随一家具匠为学徒。他很早就对中国深感兴趣，借助于一 本拉丁文的 《汉语知识》和一部汉译《新约》，他无师自通，掌握了汉语的 大概。1846年，英国伦敦会在华传教士理雅各返英为本会在华出版机构物色 人选，伟烈亚力毛遂自荐。理雅各对他的天才十分惊叹，立即接收他入会。 经过半年印刷业务进修之后，随即被派往中国。1847年8月26日来华后， 在上海主持伦敦会墨海书馆的出版事务。
受明末清初来华耶稣会士的影响，伟烈亚力认为宣传科学有利于传播基 督教。他以利玛窦 （1552—1610）等人为榜样，准备翻译科学著作吸引中国 知识分子。为此，在主持馆务之余，他广泛研读中国典籍，开始学习中国传 统的天文数学。他说：
“余自西土远来中国，以传耶稣之道为本，余则兼习艺能。”
1849年，墨海聘王韬译书。现在李善兰又应邀进馆。
李善兰与伟烈亚力翻译的第一部书，是欧几里得《几何原本》后9卷。
徐光启和利玛窦于1607年翻译出版了《几何原本》的前6卷，为初等几 何学部分。后9卷是关于数的理论、不尽根的几何解法、立体几何学等，一 直未能翻译，所以，李善兰说：“续徐、利二公未完之业”。于1857年翻译 出版了《几何原本》后9卷。
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