公元1257年，忽必烈召见金朝遗老窦默 （理学家）、姚枢（理学家）、 李俊民等多入，又派董文用 （金朝降将董俊之子），专程去请李冶，忽必烈 说：“素闻仁卿学优才瞻，潜德不耀，久欲一见，请勿他辞。”
这年五月，李冶在开平会见了忽必烈。下面是忽必烈和李冶的问答：
问：河南（金）居官者孰贤？
答：险夷一节，唯完颜仲德（金宰相，蒙古军破蔡州，赴水殉国）。
问：完颜合答（金元帅左监军）及蒲瓦（移刺蒲阿，契丹人，金权枢密 副使，与完颜合答均败于三峰山，被杀）何如？
答：二人将略短少，任之不疑，此金所以亡也。
问：魏征（唐太宗时诤臣）、曹彬（北宋太祖时忠武军节度使，伐南唐） 何如？
答：征忠言谠论，知无不言，以唐诤臣观之，征为第一。彬伐江南，未 尝妄杀一人，拟之方叔（周宣王卿士，北伐 狁，南征荆楚，有功于周）、 召虎 （周宣王时的召穆公，出征淮夷）可也。汉之韩（韩信）、彭（彭越）、 卫 （卫青）、霍（霍去病），在所不论。
问：今之臣有如魏征者乎？
答：今以侧媚成风，欲求魏征之贤，实难其人。
问：今之人材贤否？
答：天下未尝乏材，求则得之，舍则失之，理势然耳。今儒生有如魏璠
（金尚书令史）、王鄂（金一甲一名状元）、李献卿（金进士，以文学著名）…… 辈，皆有用之材，又皆贤王所尝聘问者，举而用之，何所不可，但恐用之不 尽耳。然四海之广，岂止此数子哉。王诚能旁求于外，将见集于明廷矣。
问：天下当何以治之？
答：夫治天下，难则难于登天，易则易于反掌。盖有法度则治，控名责 实则治，进君子退小人则治，如是而治天下，岂不易于反掌乎。无法度则乱， 有名无实则乱，进小人退君子则乱，如是而治天下，岂不难于登天乎。且为 治之道，不过立法度，正纪纲而已。纪纲者，上下相维持；法度者，赏罚示 惩劝。今则大官小吏，下至编氓，皆自纵恣，以私害公，是无法度也，有功 者未必得赏，有罚者未必被罚，甚则有功者或反受辱，有罪者或反获宠，是 无法度也。法度废，纪纲坏，天下不变乱，已为幸矣。
问：昨地震何如？
答：天裂为阳不足，地震为阴有余。夫地道，阴也，阴太盛，则变常， 今之地震，或奸邪在侧，或女谒盛行，惑谗慝交至，或刑罚失中，或征伐骤 举，五者必有一于此矣。夫天之爱君，如爱其子，故示此以警之耳。苟能辨 奸邪，去女谒，屏谗慝，省刑罚，慎征伐，上当天心，下协人意，则可转咎 为休矣。
在忽必烈和李冶的问答中，李冶所答表明了他在三类问题上的态度：
第一，李冶的人才观：
“天下未尝乏材，求则得之，舍则失之，理势然耳”。
第二，李冶的政治见解：
“为治之道，不过立法度，正纪纲而已。纪纲者，上下相维持；法度者， 赏罚示惩劝”。
第三，李冶的政治建议：
“辨奸邪、去女谒、屏谗慝、减刑罚、慎征伐”。
李冶的这五条建议，虽然是他根据董仲舒的“天人感应”学说推导出来 的，在今人看来有些滑稽，但在当时的历史条件下，用这种学说比较容易打 动忽必烈这种向往汉化的蒙古族统治者，所以得到了忽必烈的赞赏。
李冶在会见忽必烈之后，又回到了封龙山继续讲学著书。
李冶的《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学著作，但内容比较 深，粗知数学的人看不懂，而且由于理学思想的影响，数学不受重视，所以 天元术的传播速度较慢。
李冶深刻认识到天元术的重要性，于是便在封龙山教学的同时，着手写 一部普及天元术的著作。
五、 《益古演段》
北宋数学家蒋周写过一本《益古集》，内容多为二次方程，列方程的方 法则是几何方法。
李冶读过蒋周的《益古集》，并用天元术对这本书进行了研究。
公元1259年，李冶的另一本数学著作——《益古演段》写成了。
《益古演段》全书共3卷，64题，处理的主要是平面图形的面积问题， 所求多为圆径、方边、周长之类。除四道题是一次方程外，全是二次方程问 题，内容安排基本上是从易到难。从这个角度来分析，《益古演段》这本书， 可能是李冶在教学过程中为学生所写的教材。
李冶在完成了《测圆海镜》之后再来写《益古演段》，他对天元术的运 用自然会更加熟练，但是他在这本书中却没有像他在《测圆海镜》中那样， 完全用天元术来解题。书中新旧二术并用，新术是李冶的代数方法——天元 术；旧术仍然是蒋周的几何方法——条段法。条段法是一种图解的方法，因 为方程各项常用一段一段的条形面积表示，所以得名为条段法。这本书揭示 了天元术和条段法的联系和区别，对我们了解条段法向天元术的过渡，探讨 数学发展规律有重要的意义。书中常用人们易懂的几何方法对天元术进行验 证，这对于人们接受天元术是有好处的。这本书还图文并茂，深入浅出，不 仅有利于教学，也便于自学。
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