砚坚为李冶的 《益古演段》作了《序》，他在《序》中称赞这本书说：
“说之详，非若溟涬黯淡之不可晓；析之明，非若浅近粗俗之无足观”。
这些特点，使 《益古演段》成为一本受人们欢迎的数学教材，对天元术 的传播起了不小的作用。
李冶的《益古演段》在数学理论上也有创新。该书的问题同《测圆海镜》 有所不同，所求的量不是一个而是两个、三个甚至四个。按照古代的方程理 论“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。”应该用方程组来解，所含 方程的个数与所求的个数是一致的。但是解二次方程组显然要比解一元方程 困难得多。
李冶既然已经完善了天元术的程序，便力图提高他的一般化程度，用以 解决各种多元问题。他的主要方法是利用出入相补的原理 （按照吴文俊的解 释，出入相补原理就是：“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若 把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形 移置前后诸面积的和差有简单的相等关系”。）及等量关系来减少未知数， 化多元为一元，找到关键的天元一。一旦这个天元一求出来，其他要求的量 就可根据与天元一的关系，很容易求出了。
例如第三十五问：
“今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地5760步。只云从外田东南 楞至内池西北角，通斜113步，其内池阔不及长34步。问三事（指池长、池 阔及圆径）各多少？”
这道题要求池长、池阔及圆径这三个数，如果用方程组去解，需要列出 三个方程，一个可能的列法是：
设圆径为x，直池长为Y，阔为Z，则
3 3
设 y＝22.5x，则上式变为
2
-y－ 648y＋ 517545= 0
开方，得
y= 465
所以
2
x
六、“世道相违，则君子隐而不仕”
蒙古大军攻南宋四川不下，就派兵绕道先攻下云南，在云南设置了郡县。 又从云南进攻安南 （今越南），安南王陈日煚败走海上，请降。
公元1258年2月，蒙古大举侵宋。蒙哥汗自率一军入蜀，而命忽必烈攻 鄂州（今湖北武昌），兀良合台的云南之师自交广北上攻潭州（今湖南长沙）， 三路并举。四川一路，南宋军望风败降，只合州守将王坚坚守不降，并杀死 了蒙哥汗派去的招降使者。同时，蒙古军还攻破了南宋的海州（今江苏连云 港市西南海州镇）、涟水。另外，蒙古旭烈兀西征，平十余国，留在了西方， 建立了伊尔汗国。
公元1259年2月，蒙古大军包围了合州。合州军民英勇抗击蒙古大军。
7月，蒙哥汗为流矢所中，死于合州城下，合州之围遂解。
8月，忽必烈督师至鄂州。
9月，忽必烈渡过长江，包围了鄂州城。另派军攻入了临江（今江西清 江县西临江镇）、瑞州 （今江西高安县）。
11月，蒙古云南军攻入宋广西，长驱至潭州。这时，宋帅贾似道奉命请 和于蒙古，请求划江为界。
忽必烈这时已经得知了蒙哥汗的死讯，急于北归争夺汗位，遂答应了贾 似道的请求。
公元1260年3月，忽必烈在开平称大汗。
4月，蒙哥汗的弟弟阿里不哥在和林称大汗。
7月，忽必烈讨伐阿里不哥，蒙古内战爆发。
公元1261年7月，忽必烈在开平建翰林国史院，聘请李冶担任清高而显 要的工作——翰林学士知制诰同修国史。
这时，忽必烈正在逐步实行经济、政治改革。
经济方面：忽必烈改变了过去把农田变作牧场和掠夺人口为驱口的作 法，转而保护封建土地所有制，发展农业生产。他下令把许多牧场重新还作 农田，用租佃的方式招募农民耕种；有些则退给了农民。还下令禁止掠人为 奴，并把一些掠夺来的驱口释放为良民，从而增加了农业生产力。他还设立 了司农司、营田司等机构，专门负责农业生产和兴修水利。这样，经过与汉 族地区先进农业经济的长期接触，蒙古统治者终于放弃了在汉族地区推行其 落后的游牧经济和剥削方式的企图，开始大力扶持汉族地主，重视农业生产， 其自身也逐渐转化为封建大地主。
政治方面：忽必烈在政治上反对封建割据势力，加强了中央集权。蒙古 族统治者在初入中原地区时，对贵族进行了分封。这些贵族在封地内拥有对 其人民的统治权，可自置官吏，自断刑狱，自征赋税，完全是独立王国。忽 必烈逐渐改变了这种作法。他将封地改为赐田，使原来拥有封地的贵族成了 一般地主，大大削弱了其政治权势，从而使中央集权得到加强。当初蒙古人 进到中原，当地有些豪强地主投靠了蒙古人，受到信任。这些人拥有武装， 其地位子孙世袭，也是一种威胁中央集权的地方割据势力。忽必烈时期，他 们的兵权被解除了。
由于忽必烈重用汉族地主阶级知识分子，实行经济改革和政治改革，李 冶本可和其他汉族地主阶级知识分子一样，到忽必烈那里去做官，以实现自 己在政治上的抱负，然而，李冶却以老病为辞，婉言谢绝了。
李冶谢绝到朝廷任职的原因有两个：
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