四、皇极历 （二）
皇极历还首创了等差级数的表述和计 算。如在应用O一方法。昼夜漏刻长度表计 算任一时日的昼夜漏刻长度（K）时，刘昼 夜漏刻长度表计算任一时日的昼夜漏刻长 度 （K）时，刘焯给出了二十四节气初日的 初数 （L），又给出相邻两节气间每日增或 减的等差数 （△），如“每日增大”、“每
日增少”等等。已知该日所入节气及入该节 后 的 日 数 （t ） 即 可 求 出
0
t0
t = 0.1，…，15）。由昼夜漏刻表查得该节气初日的夜半漏刻 数与相应的赤道度数相减，即得该赤道度数
（或黄道度数）下的黄赤道差。
刘洪将张衡黄赤道差的计算法首次引 人到历法以后，沿用了几百年，到刘焯的皇 极历又有了新的算法。
张衡的黄赤道差的计算法以每经赤道 五度为一限，刘焯以四度为限，在这一点上 没有什么本质区别。但刘焯以为每一限黄赤 道差的数值是以等差级数变化的，如“每限 增一”、“每限损一”等等，这就比张衡以 每一限黄赤道差为一个常数有所改进。
刘焯黄赤道差计算法的误差为0.24°, 与张衡法的水平相当。
刘焯在坐标变换法方面更主要的贡献 是首创了黄白道差 （黄道度与白黄度之差） 计算法。对黄白道差计算法的描述方式与黄 赤道差计算法相同，误差为0.13°。这些新 算法也对以后产生了很大影响。
张子信曾经在一个海岛上，制作了一架 浑仪，专心致志地观测，研究日月交食的发 生时刻，发现了太阳运动的不均匀性、五星 运动的不均匀性和月亮视差对日食的影 响。
张子信的这三大发现，以及给出这三大 发现具体的、定量的描述方法,把我国古代 对于交食等天文现象的认识推进到一个新 的阶段，为一系列历法问题计算的突破性进 展开拓了道路。
刘焯在吸取了张子信等前人的研究成 果，并经过自己的长期探索以后，创立了一 整套日月交食的推算法。
刘焯首先是创立了月亮入交定日（p） 和太阳入会定日 （q）的计算法：
交率
P = 入交平日及余±T⊙±交数×T月
交率
ｑ= 入会平日及余±T月±交数×T⊙
以这两个公式计算月亮、太阳与黄白交 点的时距 （p和q）时，既考虑了太阳、月 亮运动不均匀性的影响，又虑及了黄白交点 退行的影响。它的天文概念十分准确和清 晰。
其次，刘焯扩充了交食食限的概念和改 进了食分的计算法。
皇极历给出的月食食分 （g ）的算式
月
望差= {去交日分- [3K至 + 2 （10+ S）+ 2K分]}
g 月 = 96
式中望差为朔望月长度与交点月长度 之差的一半。去交日分即上述P值。K 为
至 发生在春分（或秋分）前、后的望日所值节 气距夏至的节气数 （0－12）；K为发生在
分 春分（或秋分）前的望日所值节气距春分（或 秋分）的节气数（0－6），如果望日在春分
（或秋分）后，K=0。s为去交日分所相当
分 的时辰
4205.5
数（0 －14）。因为望差
96 ×15
96 ×15
96 ×15
望差- 去交日分 M
g ⊙ = 望差 ×15
五、皇极历 （三）
刘焯还发明了日月食初亏和复圆时刻 计算法。
算式是：初亏时刻=食甚时刻-H；复圆 时刻=食甚对刻+H，日月食的全部见食时刻= 复圆时刻-初亏时刻=2H。而
(300 亮视差。同理，太阳视、真位置的高度差叫 做太阳视差，但它要比月亮视差小得多，几 乎可以忽略不计。当合朔时，如果月亮位于 太阳之北时，由于月亮视差的影响，月亮的 视位置南移，使日、月视位置彼此接近；如 果月亮位于太阳之南，同理，将使日、月相 对视位置增大。这些就是张子信所发现的上 述现象的原因所在。所以，张子信的上述发 现实际上就是关于月亮视差对日食是否发 生所产生的影响的发现。
刘焯列出了9种日应食不食和7种日不 应食而食的判据，每一种判据又均与朔时月 亮去交度分，所值季节和距午正时刻三种要 素相关。
刘焯所列的16种判据都定性地与月亮 视差对日食影响的原理相符合，这是对张子 信当年发现的极重要的补充和发展。
刘焯还对交食亏起方位作了论述，分为 月亮在黄道南、黄道北两种情况，每一种情 况又分为交食发生在观测者的正南、正东、 正西、东南和西南前后等 7种不同的方向 时，亏食起始的方位、亏食的走向及亏食终 了的方位等内容。这是我国古代对交食亏起 方位所作的最详尽的描述。
刘焯的这一整套交食推算法的创立，标 志着我国古代的交食研究进入了一个崭新 的时代。与交食推算法具有同样划时代意义 的发明，是他所创立的五星位置计算的新方 法。欲求任一时日 （A）五星的黄道宿度， 刘焯创立了以下步骤：
第一：求出历元到A的积日数，减去五 星伏日数的一半，其差数以五星会合周期除 之，所得余数 （B）是为A与最临近的一次 五星晨始见东方时刻（平凡日）间的时距。 由于五星会合周期实际上是相当数量的实 测五星会合时间的平均值，所以由它算得的 平见日（A-B）可以认为是以五星和太阳均 作匀速运动为基础求得的。又以积日数除以 回归年长度，所得余数（C）则为所求年冬 至夜半与A的时距，由此也可以知道A值的 节气。
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