这次可把阿基米德难住了。几天来，他茶饭不思，苦思冥想，眼睛熬红 了，身体累瘦了，他整天写啊、画啊、算啊，提出许多假设，又不断地进行 规划，一个方案失败了，又出现另一个新的方案。阿基米德相信，大自然给 人们的恩赐从来就不是施舍式的，要靠人类不断地去奋斗、去争取。的确， 灵感总是偏爱勤于思索的大脑。
阿基米德为了解决王冠真假问题已经几天没洗澡，蓬头垢面的。这天， 仆人硬把他拉到浴池边，强迫他去洗澡，然而阿基米德的思路还在王冠上， 当他走到浴池边，一条毛巾从他的肩上滑下来，掉进水池，满满的一盆水立 即溢出一些，他没有在意，一边脱衣服，一边想心事，一失手，装满油膏的 铁罐又掉进了澡盆，水又溢出了不少，他脱完衣服，跨进澡盆，澡盆里的水 开始哗哗地往外流，等到全身都浸入水里时，才保持稳定，澡盆里仍是满满 的一盆水。就像黑夜中划亮了一根火柴，阿基米德的思路豁然开朗：从澡盆 里流出的水不正是我身子浸入水中的体积吗？如果不是我，而是与我重量一 样的金锭放入澡盆，就不会排出这么多水了。想到这，阿基米德从水中一跃 而起，匆匆穿上裤子，披了条浴巾，象着了魔似地冲出浴室，跑过大街，直 奔王宫，口里不住地喊着“攸勒加！攸勒加！（希腊语：我找到了！）”
王宫的门卫见一个衣衫不整的人直朝王宫冲来，还以为是疯子，就横着 兵器走过来，要阻止他进去，等到了眼前，一看是叙拉古最聪明的人阿基米 德先生，就恭恭敬敬地让开了路。国王亥洛正在宫里欣赏歌女们婀娜的舞姿， 阿基米德冲了进来，吓得歌女们马上躲了起来。阿基米德直冲到国王面前， 一边喘气一边说：“攸勒加！修勒加！陛下，我找到鉴定王冠真假的办法了。”
“是吗？快鉴定给我看看。”国王急切地说。阿基米德让人在国王面前摆上 了2个大小完全相同的盛水罐，与王冠重量相同的金块和2个小罐。盛水罐 是锡罐，罐口旁有管可以让里面的水流出来。阿基米德让人在这2个锡罐里 装满水，然后在一个罐里放下与王冠同样重的金子，罐里的水溢出来，顺着 罐口的管流入有刻度的接水罐中，流出的水在接水罐的刻度为3个刻度的高 度。阿基米德又请国王拿出王冠，小心翼翼地放入另一个锡罐中，罐里的水 很快又溢出来流入接水罐中，但显示的刻度是比3个刻度的高。因此阿基米 德以肯定的语气告诉国王说，这个王冠不是纯金的，它里面掺有其他物质。
国王像看魔术似地看完阿基米德的实验，睁大眼睛问阿基米德，“这是 什么道理。”阿基米德解释说：“任何一个东西沉入水中，都会排开一部分 水，排开的这部分水，就是这个东西的体积。就好比我今天去洗澡，我身子 进入水里，满满一盆水流出来的部分就是我身体的体积。我的身子大，流出 的水就多，掉进水里的毛巾和铁罐小，流出来的水就少。”国王接着问：“洗 澡和王冠有什么关系呢？”阿基米德不慌不忙地解释说：“如果王冠是纯金 做的，那么把它放进水里排开的水，就跟没有加工过的黄金放入水里排开的 水一样多，如果金匠在里面掺了银子，由于银子比金子轻，所以假王冠放进 水里排开的水就比真金子排开的水多。”
从理论上讲，这种鉴定方法似乎无可非议，然而，阿基米德认为，从实 验的角度看，这种方法是不够严谨的。因为实际上要精确测量出所出的水的 体积是非常困难的，这是由于所要测量的两者差值不大，要求测量误差小； 同时，又不具备精度足够高的量具。于是，在以上实验的基础上，一种新的 修正方案出现了：用排出的水的重量作比较。实验所得，王冠排出的水的重 量大于纯金排出的水的重量，所以阿基米德仍然断定，王冠里掺了假。
一年一度的祭神节到了，它是叙拉古人的传统节日。所有华丽的服装、 服饰，精美的摆设，都要在这一天中展示，但这都不是主要的，最主要的是 吉祥如意。在这天，叙拉古国的人民身着盛装，走在街头，载歌载舞，欢度 自己的节日。在这天，叙拉古的人民还可以向神灵祈愿，祈求诸神，让田里 的庄稼丰富，让家里的人们安康、幸福，愿国家能繁荣昌盛。
在这年的祭神节里，叙拉古国至少有2个人过得相当不愉快。一个是国 王亥洛，他本来可以置办一顶黄橙橙的纯金王冠，虔诚地向神祗们祈求赐与 些什么，在文武百官和外邦来宾面前炫耀一番。然而这个可恶的金匠居然敢 偷工减料，将纯金的王冠里掺假，使这顶王冠大为逊色，如果不是聪明的阿 基米德用数天功夫找出鉴定方法，几乎被这个家伙骗过去。所以国王在盛怒 之下，将这个金匠投入监狱，待过完祭神节后再处置他。
另一个不愉快的人就是金匠，他辛辛苦苦地为国王制作王冠，把自己祖 传的手艺全部用来制作这顶王冠，雕刻得玲珑剔透，做工极为讲究，却被国 王投入监狱，不能与家人团聚，不能参加狂欢和祈祷。被排斥于欢度祭神节 的行列之外，这是叙拉古人所受的最重惩罚。
阿基米德由于鉴定出王冠中掺假，不仅国王对他更加尊敬，而且他的声 望在叙拉古人民中也越来越高。
祭神节的第二天，正当国王亥洛和阿基米德及群臣们议论国事时，卫士 进来报告，说有一位老妇人求见。亥洛国王立即请老妇人进来，因为他是一 个贤明的国君，他经常接见所谓的“平民百姓”，从这些人的谈话中了解民 间俗情，也可以直接听到有益的建议和人民的疾苦，而且国王更敬重老人， 认为年岁大的人见多识广，能够有更好的建议。
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