伽利略很想继续做阿基米得没做完的工作，研究重量，并经常和朋友们 来探讨这个问题。
有一天，伽利略和朋友们探讨：“为什么物体在水中会失去重量？物体 在水中会失去多少重量。”
伽利略说：“阿基米得没能回答第一个问题，却回答了第二个问题。如 果把物体放进盛满水的罐子中，该物体就会排除一部分水；被排出的水量重 多少，该物体就减少多少重量。”
他的朋友们做了一些实验，证明了这一点， “但你能回答第一个问题 吗？”
伽利略认为，要回答第一个问题，就要先探讨重量问题。如果往下扔球， 球会立刻落地，如果把球扔向空中，球也会很快着地，原因是球有重量，它 比空气重。
伽利略说：“地球是一个大球，绕着地球走，一定不会掉下去，因为地 球的中心有一种奇异的力，叫重力。如果我们往上跳，重力会把我们拉回到 地面上。重力总是把物体笔直地往下拉。”
伽利略又说：“每个物体都有重量，但是物体重量的中心并不一定在该 物体的中间部分；如果物体的上部重于底部，物体很容易倒下，该物体的重 心就是高了；如果物体的底部重，物体就不容易倒下，该物体的重心就是低 的。”
1586年，伽利略利用杠杆原理制造了一杆秤，把被测物体放到水中称 重，通过重量变化可得出固体比重，他写成了第一篇论述比重秤的学术论文。
1587年底，伽利略发现了一种巧妙而实用的测量某些固体重心的方法， 比阿基米得的方法先进；这使他首次在国外赢得声誉。与此同时，他首次访 问罗马时，这一发现还使他结识了罗马耶酥会学院的数学家兼天文学家克拉 威斯。
1588年，伽利略凭借他的发现申请波洛那大学空缺的数学教授职位，但 没有如愿以偿，然而他的发现却引起了吉多波德侯爵的兴趣，侯爵即成为他 的朋友和赞助人。
里奇在 1589年把伽利略《论重心》的报告呈送给大公费迪南德一世过 目。大公看后，非常喜欢，聘请他做比萨大学的数学教授。
伽利略的薪俸比较微薄——每年十三镑，但能供他继续做实验，因此他 高兴地接受了这一聘请。
伽利略开始在比萨教书的时候，结识了一位讲授哲学的著名的但丁学者 马佐民和医学教授默库里尔，他们经常在一起讨论一些哲学问题，将古希腊 哲学家柏拉图（公元前427—347）和亚里士多德进行比较。
1590年，伽利略写了一篇《论运动》的长篇论文，他在这篇论文中写道：
“相同材料的物体通过同一介质下落时间相同，与物体的重量无关。”
与伽利略一起共事的教师们，看了这篇论文很生气，他们要求伽利略一 定要证明他的观点。
伽利略邀请他们第二天中午到著名的比萨斜塔去进行实验。
第二天中午，教师们都应邀而来，有的站在塔底下，有的和伽利略一起 登上塔顶。
伽利略手里拿着一个重十磅的铁球和一个重一磅的铁球，把这两个铁球 一块从塔顶上扔了下去，结果是两个球同时着地了。
这次公开实验证明了伽利略的正确。
伽利略还计算出物体下落的速度，但他说明，空气不允许每个物体以同 样速度下落，但是在没有空气的真空中，这个公式是不变的。
伽利略研究出，水所以能克服重力，沿着管子上升，是因为空气把管子 中的水往上压。空气有重量，而且有推力，因此只要哪里出现真空，空气就 设法去填满它。
伽利略认为空气有重量，他的证据是由实验证明的：空气把水泵中的水 往上压了34英尺。低于34英尺，水就比空气轻，高于34英尺，水就比空气 重；如果刚好在34英尺处，两者的重量就相等，因此，只要把水的重量秤一 下，就能求出空气的重量。
伽利略把一根长34英尺，口径是一平方英寸的管子装满水，然后秤了水 的重量，这些水恰好是15磅。
伽利略认为。因为空气的重量总要把水往下压，而水又总是想法往上涌， 所以物体在水中会减少重量。任何物体入水后，水就从它下面把物体往上推。 水就是这样帮助人游泳，帮助船舶在海上航行。坚实的物质一般不能在水中 漂浮，往往沉入水底，因为它们比水重。但木材通常比水轻，因此能在水中 漂浮，不会下沉，所以人们通常用木材造船。
伽利略还认为，每种物质都由粒子组成。在气体中，粒子并不紧密地聚 集在一起，所以气体很轻；液体中，粒子聚集得较紧密，所以液体要重一些； 在固体金属中，粒子聚集得很紧密，所以很重；但是在固体的木材中粒子排 列的并不很紧密，所以木材比铁轻。
伽利略在同事中有几位挚友，但他得罪了那些亚里士多德派的教授，他 还尖锐地批评了一项改善里窝诺港口的方案，在托斯坦纳宫廷中树了劲敌。
1591年，伽利略的父亲文森西奥去世了，他不得不抚养弟妹，特别是他 为其大妹费吉尼娅置办了丰厚的嫁妆，使他经济拮据，入不敷出。伽利略不 得不当上了私人教师，虽然增加了收入，但使他不能有很多空余的时间来做 实验。
伽利略考虑解决问题的办法只能是离开比萨大学到薪金比较高的地方做 大学教授。
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