高斯在计算这道题时用了教师未曾教过的等差级数的办法。即在1至100 中，取前后每一对数相加，1＋100，2＋99，……，其和都是101，这样一共 有50个101，因此，101×50＝5050，结果就这样很快算出来了。
通过这次计算，比纳特老师发现了高斯非凡的数学才能，并开始喜爱这 个农家子弟。比纳特给高斯找来了许多数学书籍供他阅读，还特意从汉堡买 来数学书送给高斯。高斯在教师的帮助下，读了很多书籍，开拓了视野。
“他已经超过我了，”比纳特不得不承认，“我没有更多东西可以教他 了。”
在这所学校里，有一位名叫约翰·马丁·巴蒂尔（1769—1836）的青年。 巴蒂尔是比纳特的助手，他的工作是教小学生写字和削鹅翎笔。巴蒂尔后来 成了德国数学家。由于对数学有着共同的爱好，两人很快成了好朋友。巴蒂 尔买来代数分析书籍成了他们共同的课本。高斯不但看书，而且开始对数学 大师们的某些“证明”不客气地提出挑战。
1788年，高斯小学毕业了，经过比纳特和巴蒂尔的再三劝说，高斯的父 亲才同意儿子继续升学，学费由比纳特和巴蒂尔负担。这一年，高斯以优异 的成绩考入布伦瑞克高级文科中学。在这所学校里，他很快地掌握了古德语、 拉丁语和希腊语的主要课程。由于他在古典文学上的良好基础和独到之处， 他一开始就上了二年级。过了两年，他又升到了高中哲学第一班学习。这时， 高斯仍未放弃对数学的爱好。
1788年，高斯11岁时，巴蒂尔买到了他们盼望已久的大数学家欧拉著 的《代数的完整介绍》一书。这是公认的代数学的权威著作。高斯对二项式
n n
（1＋x）定理产生了浓厚的兴趣。欧拉二项式 （1＋x）的展开式是这样叙 述的：当n为自然数时，展开式有有限项；当n为非自然数时，展开式有无 限项。高斯对这一结论颇感兴趣，便尝试对它作出证明。关于这个证明的详 细内容现在还没有留下可靠的资料，但即使这个证明是不完善的，至少也反 映了高斯治学的严谨。高斯是公认的现代数学中第一个严格证明论者，他对 分析的严密性要求影响了整个数学界。
12岁时，高斯对统治了2000多年的欧几里得几何是否是唯一的几何真 理产生了怀疑，到16岁时，他已清楚地看到非欧几何的曙光。
由于高斯聪明好学，他很快成为布伦瑞克远近闻名的人物。
一天，在放学回家的路上，高斯边走边看书，不知不觉地走到了斐迪南 公爵 （？—1806）的门口。在花园里散步的公爵夫人看见一个小孩捧着一本 大书竟如此着迷。于是叫住高斯，问他在看什么书。当她发现高斯读的竟是 欧拉的《微分学原理》时，十分震惊，她把这件事告诉了公爵。
1791年，经卡罗琳学院讲师冯·齐美尔曼介绍，斐迪南公爵召见了高斯。 通过简单的交谈，公爵喜欢上了这个略带羞涩的孩子，并对他的才华表示赞 赏。公爵同意作为高斯的资助人，让他接受高等教育。
1792年，高斯在公爵的资助下进入了布伦瑞克的卡罗琳学院学习。在此 期间，他除了阅读学校规定必修的古代语言、哲学、历史、自然科学外，还 攻读了牛顿、欧拉和拉格朗日等人的著作。高斯十分推崇这三位前辈，至今 还留有他读牛顿的《普遍的算术》和欧拉的《积分学原理》后的体会笔记。 在对这些前辈数学家原著的研究中，高斯了解到当时数学中的一些前沿学科 的发展情况。由于受欧拉的影响，高斯对数论特别爱好，在他还不到15岁时， 就开始了对数论的研究。从这时起，高斯制定了一个研究数论的程序：确定 课题──实践 （计算、制表、或称实验）——理论（通过归纳发现有待证明 的定律）──实践（运用定律进一步作经验研究）──理论（在更高水平上 表述更普遍的规律性和发现更深刻的联系）。尽管开始研究时并不那么自觉 和完善地执行，但高斯始终以极其严肃的态度对待他从小就开始的事业。
1795年，高斯结束了卡罗琳学院的学习。10月，进入了哥廷根大学读书。 从此，数学神童开始了对数学的研究。
二、大学生活
哥廷根大学成立于1737年，是当时德国一所著名大学。它以藏书丰富和 教授的知名誉满全国。1795年10月11日，高斯到这所大学报到，开始了大 学生活。
18世纪，德国的启蒙运动波及全国，也影响了哥廷根大学的校内生活。 在学校里，民主思潮和自然科学的交流空前活跃。许多进步教师开办了讲座， 如：曾创立欧洲语言学校的古典语言学家海涅开设艺术史和考古史课程；历 史学家施勒策尔发表了批判专制统治体制的专门演说；才华横溢的物理学家 李希腾贝尔举办科学讲座。这些学术活动吸引着无数的学生，对高斯自然也 起着强烈的熏陶作用。
高斯虽然是个学生，但他边学习边研究前人未曾解开的数学之谜。1795 年，他对数论中的二次互反定律第一个作出严格的证明。二次互反定律是欧 拉首次发现的，这是一个了不起的成就。但是，欧拉没有对它进行证明，只 举出几个例子作为验证。勒让德在1785年独立宣布了这一定理，并且先后给 出了两个证明。可惜他的证明并不完备，因为他回避了一些重要的难点。高 斯运用数学归纳法证明了这个定律，以致凡是见过这证明的数学家无不拍案 叫绝。高斯对此十分重视，称它为“黄金定理”。对于这样重要的定理，高 斯认为有一个证明还不够。他反复思考多年，先后给出了6个不同的证明。 他认为“绝不能以为”获得一个证明以后“研究便告结束，或把寻找另外的 证明当作多余的奢侈品”。因为，“有时候，你一开始未能得到一个最简单， 最美妙的证明，但正是这样的证明才能深入到高等算术真理的奇妙联系中 去。这是我们继续研究的活力，并且最能使我们有所发现。”由此可见，高 斯对科学的严谨态度。今天，关于这个定律的证明已有50多个，但高斯对这 个定律的贡献仍是不可低估的。
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